集合位相 pdf

集合位相

Add: yzebyho56 - Date: 2020-12-14 13:43:38 - Views: 2145 - Clicks: 5335

6.位相空間 7.連結性とコンパクト性 8.距離空間(その2) 9.分離公理とコンパクト性の一般化. 詳細目次 序文 (pdfファイル) 全体の地図 (pdfファイル) 1.集合 §1 集合の定義 §2 集合の演算 §3 全体集合 2.写像と二項関係 §4 写像. 講義ノートの目次へ 集合と位相空間に入門するための講義ノートPDF。 大学で学ぶ「幾何学」の基礎としての,集合論および位相空間の初歩。 数とは,集合である。そして集合の各要素に対し「近さ」(距離) の概念を導入すれば,位相空間になる。何かの集合や空間を定量的に扱うには,位相の. 3 (M,f(Uα,φα)gα2A) をn 次元多様体とする。M の開集合V と写像ψ: V!

1 PDF editor, e-sign platform, data collection, form builder solution in a single app. 7 (代数集合). .

位相空間論を説明する前に,集合論について少しおさらいしよう.まずは写像について. , を二つの集合とし, の部分集合 のそれぞれの元 に の元 が一意に対応しているとき, を から への写像といい, を の定義域, を の値域(または像)という.. このとき, B(a;") ˆ pdf X を. 試験問題: 位相数学 I・同演習(年度)中間試験, 位相数学 I・同演習(年度)期末試験. このs は開集合系の公理をみたしているかどうかは謎だとする(記号s とs の見た目の違いは微妙. 18 ( n ) は正の数とは限らない..

松坂和夫著「集合・位相入門」岩波書店 内田伏一著「集合と位相」裳華房. 位相空間 川崎徹郎 春 1. Amazonで松坂 和夫の集合・位相入門 (松坂和夫 数学入門シリーズ 1)。アマゾンならポイント還元本が多数。松坂 和夫作品ほか、お急ぎ便対象商品は当日お届けも可能。. 2 位相の概念 位相(topology)とは,集合(あるいは空間)の点の間の関 集合位相 pdf 係を「遠近」に注目して整理した抽象的な数学構造をい う.この構造を考えることによって,近代の数学. 集合と位相中川仁 年度後期. •ある集合に+,−,×,÷が定義されていれば, その集合を体と呼ぶ.

の集合に属する元は一つもない.このように一つも要素をもたない集合というものが考えられる. このような集合を空集合といい,特別な記号:∅ (あるいは∅) でもって表す.従って, x ∈ R : x2 +1 = 0 = ∅ 集合位相 pdf である.. 集合と位相のお勧めの本を教えてください。 数学科の大学2年生です。3年次から幾何学や代数学など本格的な講義が始まるのですが、今までの基本事項を理解していないため、3年からの授業についていけるか不安です。. Oe(R)) において開集合であったものも, (R,Oi(R)) では開集合になるとは限りません. 開集合とは点どうしの【近さ】をあらわすものであることを念頭に,開集合が2つしかないということの意味をイメージしてみます. 例えば「点 x ∈ R の近くにはどんな点がありますか」と質問した場合,x を含むような開集合は全体集合しかありませんから,この世界ではすべての点が一様に x に近いということになります. そんな理由から,(R,Oi(R))は【密着空間】ともよばれます. 例2 開集合が R のすべての部分集合からなるもの 次の例は,すべての R の部分集合が開集合となるような世界です.すなわち です.この O(R) を と表記することにします. この世界では点 x ∈ R の近くをあらわす開集合はたくさんとれますが,その中でも一番小さいものは x です.すなわち 集合位相 x だけからなる集合が x の近傍としてとれます. これが何を意味しているのかと言うと, x は他の点から遠い存在であるということです.ちょっと図を大げさに描くとこうなるでしょう. したがってこの世界 (R,Od(R)) では,すべての点が一様に離れているため,【離散空間】とも呼ばれます. 例3 開集合が補有限集合となるもの 整数論等において重要となる世界として,開集合が次のような形のものがあります. この場合の (R,Oz(R)) 集合位相 pdf は代数的な対象(多項式や有理式)を扱うのに都合のいい世界になっています.. 以上の話では,実数の集合 R を土台にして,そこに開集合 O(R) というものを与えることで,連続概念を扱う土台となる空間 (R,O(R)) を構築しましたが,このようなプロセスは R に限らず,どんな集合の上でも行うことができます. いま,任意の集合 A が与えられているとしましょう.すると R のときと同じように A の部分集合を集めた集合 O が開集合と呼ばれるための条件さえ満たせば, A において連続概念が使えるようになるのです. 開集合となるための条件は,R のときと変わりません.一応再掲しておきましょう. したがって,どんな集合 A も,開集合族の条件を満たす O を兼ね備えていれば連続概念が意味を持ち,したがって A と O は空間としての役割を持ちます. このような A と O の組 (A,O) は【位相空間】と呼ばれます.基本的に何かしらの数学的な対象が単に【空間】とだけ書かれていたら,それは【位相空間】になっています.(注意:ただし【ベクトル空間】は位相空間とは関係ない概念です.) 例えば,2つの集合 A,B を として,それぞれに開集合を次のように定めてみましょう. これによって,(A,O(A)), (B,O(B)) はそれぞれ位相空間になります. 例えば A の方で a ∈ A を含む開集合( a 集合位相 pdf の近傍 ) は何かと聞かれたら a や a,b であると答えられますし, c ∈ A の近傍は全体集合 A のみであると答えられます. (A,O(A)),(B,O(B)) は空間なので連続概念が意味をなします.例えば定義域が (A,O(A)) で値域が (B,O(B)) の場合,連続関数 f : A → B の例として以下のようなものがあります. このグラフはかなり模式的な図ではありますが,ユークリッド直線上の連続関数と比べてみましょう. また,次のような写像は f : A → 集合位相 pdf B はいまの文脈においては連続関数になりません. 例えば 2,3,4,5 という B上の開集合に対して,その逆像は b,c,d であり,これは A上の開集合になっていないからです.数式で書くと です. このように,どんな集合でも,開集合の情報を何かしら与えることによってそれを空間にすることが可能になります.. . 2 集合位相 pdf 凸集合の位相的性質 2.

的な,開集合系による位相の定義を目の当たりにして,当惑してしまうのではなかろうか: 定義(開集合系・位相・位相空間):集合s にたいし,部分集合の族(あつまり)o がs の開集合系であるとは,次の条件(o1)-(o3) を満たすときをいう: (o1) s 2 o かつ. 具体的にどのようなものがあるでしょうか? 大学では主に次のような例が挙げられるでしょう. 例1 開集合が空集合と全体集合 R のみからなるもの まず極端な例としては O(R) を次のようなものとします. この O(R) はさきほどの2条件を満たしています.すなわちこの O(R) も連続概念を展開させるための土台として有効なものになっているのです. ユークリッド直線のときと区別するために,この O(R) を と書き,ユークリッド直線に定められたものを と書きます. (R,Oi(R)) の世界では,開集合は空集合と全体集合しかありません.したがってユークリッド直線 (R. さて,いくつか例を挙げましたが,これらの世界での連続関数はユークリッド直線で扱ってきたものとは全く異なるものになっています. ユークリッド直線のときの,連続の定義を再掲してみましょう. 開集合が別のものに変わった実数直線上の連続関数の定義もこれと同じように行われます. どちらも開集合によって連続が定義されています. 例えば,定義域が (R,Oi(R)) 集合位相 pdf で値域が (R,Oe(R)) のときは定数関数しか連続関数になってくれません.g(x)=x² や h(x)=sin x などは連続関数になってくれないのです.つまりこの文脈において,g(x) や h(x) のようなものは不自然な存在ということになります. また,例えば定義域が (R,Oz(R)) で値域が (R,Oz(R)) の場合,ある種の多項式関数 f : R → R は連続になってくれます. しかし,cos x などは連続関数になってくれません. (R,Oz(R)) は,多項式関数のように代数的なものが他の cos x, sin x などの関数よりも強調されている世界なのです(複素数のような【代数閉体】とよばれるものの上でより有効にはたらきます). この Oz(R) のような開集合系の考え方は代数幾何学という分野において重要な役割を果たします.. その代わりに本書では「集合と位相」の基本的アイデアが生まれてきた経緯,そして集 合や位相の考え方が数理科学における必須の知識とされるに至った経緯といった,歴史 的な事情の説明にもっとも力を入れています.19世紀初頭に熱の伝導現象の解析の.

Trusted by 集合位相 pdf 5M+ Businesses Globally. 位相空間(x;o) が連結である. 『数学シリーズ 集合と位相』 (内田伏一 著,裳華房) 問題解答一覧 (/11/2更新) 『数学シリーズ 集合と位相』(内田伏一 著)に出題されている160余の問題のうち,同書の巻末に解答が記されていない問題80余について,その解答をまとめました.. 集合A, B においてA の元がすべてB の元であるとき,すなわ. M £N に積位相を 入れると、(M £N,f(Uα £Vi,φα £ψi)g(α,i)2A£I) も多様体になる。この多様体を M とN の積多様体と呼ぶ。 定義1. 部分空間と相対位相 5. 集合位相 2 集合の演算 【定義1. 公理的集合論 渕 野 昌 1 集合論と“集合論” 数学系の学部のカリキュラムには,「集合と位相」というような名前の講義が含まれていることが多 い.しかし,ここで述べようとしている「公理的集合論」は,このような講義で教えられる内容とは,.

集合位相 開集合の情報をもともとの集合と分離して考えることによって,【同相】の考え方が簡潔になされるようになります. 【同相】とは,2つの位相空間の間に定義される概念です.例えば (A,O(A)) と (B,O(B)) は,見た目が違っても空間としては同じものを表しているということがよくあります. 例えば,このような例を考えてみると分かりやすいかもしれません. 以上の例では集合 A,B に使われている記号は違いますが,開集合の見た目はまったくおなじになっています.すなわち A,B は空間としては全く同じものを表しているのです. このように2つの位相空間は,(大雑把に言うと)それぞれの集合の点が一対一に対応し,かつその上の開集合も一対一に対応しているようなときに同相と呼ばれます. ドーナッツとコーヒーカップが連続的に移り合う,というような説明を聞いたことがある人がいるかも知れません. 集合位相 この場合も,同相という考え方がされており,ドーナッツに定められた開集合と,コーヒーカップに定められた開集合が一対一に対応していることが,ドーナッツがコーヒーカップに変形できることとして説明されるのです. もう少し別な言い方をすると,ドーナッツ上で展開される連続理論と,コーヒーカップ上で展開される連続理論はまったく同じものになるというわけです. トポロジーという分野においては,このような簡単な図形だけではなく,もっと複雑な(高次元の)ものに対しての変形を定式化しなければいけなくなります. そんなときに位相空間の考え方は必要になってきます. また,位相空間は目に見える形の図形の変形を記述するのに有効なだけではなく,もっと抽象的なところでも活躍しています. 代数幾何学という分野では,【ザリスキ位相】というユークリッド幾何で用いられるものとは違うものが使われています(上記の例において Oz(R) と書いたものはその一例です). 代数幾何学では,関数から空間を復元するという思想があります.すなわちある環 Y だけが最初に存在し,それを関数全体の環として持つような空間として Spec Y というものが定義されます.これは Y の素イデアルとよばれるものからなる集合であり,そしてこの Spec Y にしかるべき開集合の情報を与えることにより位相空間となります. 例えば,整数全体 Z も環であり,この Z. 定義 (X;d)を距離空間とする. 集合S 上の(二項) 演算 とは, S の任意の元a,b に対してS の元a b を一つ 対応させること.

一般位相A(2組) 金曜2 限(10:40˘12:10) K205 担当教員: 加塩朋和 研究室: 4号館3階 E-mail : kashio jp 教科書・参考書 本講義は以下を参考にしました. See full list on note. ユークリッド空間Rn 内の部分集合X が代数集合*2であると は,実係数多項式f1,. 位相空間の概念は代数学や解析学でも有益である。例えば無限次元ベクトル空間を扱う関数解析学の理論を見通しよく展開するにはベクトル空間に位相を入れて位相空間の一般論を用いることが必須であるし(位相線型空間)、代数幾何学で用いられるザリスキ位相は、通常、距離から定める. x とϕ以外に開かつ閉集合u があると仮定すると,補集合v = u も開かつ閉集合である.もちろん. 直積位相または箱位相をもつ直積空間の開集合について教えて下さい. なぜ逆極限や帰納的極限を極限とよぶのですか? 一般の位相空間に対して,微分にあたる概念を定義することはできますか?.

直積位相・商位相 科目:数学演習IIA(f組) 担当:相木 集合位相 pdf 引き続き,与えられた位相空間から新たな位相空間を構成する方法を解説する. 直積位相 まず記号の復習をする. 直積 空でない集合X;Y に対してその直積X Y を X Y = f(x;y) j x 2 X; y 2 Yg. ψ(V)は位相同型写像、 (2) 各α 2 A. com has been visited 集合位相 pdf by 100K+ users in the past month. Adobe — The Leader in PDF Innovation for 25+ Years. 2 群, 環, 体の定義 定義2. 集合と位相にまつわる数学の歴史書として、どんな人物・概念が新たな数学を生み出していったか、その系譜が非常にわかりやすいです。 本書一冊で、集合・位相空間論が習得できるわけではありません(教科書ではないので)。. いままで O(R) は【R 上の開区間とその和集合】をすべて集めてきたような集合でしたが,この 集合位相 pdf O(R) を別のものに変えてしまっても,それを土台とする連続概念は意味のあるものになってくれるのでしょうか? 一般には,O(R) をメチャクチャなものに変えてしまうと連続の概念はうまく機能してくれません.すなわち O(R) は R の開集合族とは呼べるものではなくなってしまうのです. 集合位相 pdf そこで,連続理論がユークリッド幾何の場合と同様にできるような条件が O(R) には必要です.その条件は様々な形で表されますが,現代数学では以下のようなものが主流になっています. (条件1)開集合の和集合は再び開集合にならなければならない. (条件2) 開集合の共通部分は再び開集合にならなければならない. 数学科の学生用に,ちゃんとした文章でも書いておきましょう. 以上の3条件を満たすようなものはすべて連続概念の土台としての R の開集合族になりえるのです.. 集合位相 pdf 講義題目について 蛇足かもしれないですが,講義題目について補足です.上のような講義内 容,つまり,「現代数学の共通基盤」として集合と位相を学ぶ,を説明すると,.

o を集合x の位相と呼びます。集合x の位相を決めるには「x の開 集合」の概念を決めれば良いことになります。考えている位相o があき らかなときは、(x,o)のかわりにx と書くこともあります。 以下では、常にn ≥ 1とします。また、rで実数全体の集合を表し. 集合位相 pdf 大学の数学科で学ぶ数学には,実に様々な分野があります.それらは主に次の3つの分野に類別されることが多いです. 【解析】 【代数】 【幾何】 純粋数学は,厳密な論理を土台として展開されます.解析・代数・幾何,それぞれの分野にも特有の【論理の土台】が存在します.解析なら実数や微分などの論理,代数であれば群や環の論理,そして幾何なら空間の論理などです. 位相空間は幾何学を展開する上で最も基本的なものである【連続概念】の論理的な部分を扱う分野であると言えます. 空間の中では,連続変形や微分積分など様々なことが行われます.そのなかでも空間の【連続性】に着目し,それを突き詰めて考えていくと出てくるのが位相空間という考え方です. 私たちが空間を思いうかべるとき,そこには必ず【連続】という考え方があります.空間の中で図形を【連続的に動かす】とかグラフが【連続的につながっている】などなど. 位相空間論では,私たちが思い浮かべる【空間】から,連続概念の根元となる部分だけを取り出してそれを考察します. この根元の部分は【位相(topology)】とよばれるものです. 位相空間論の難しさは,なんと言ってもその抽象性にあります. 位相空間論では,連続概念に対する純粋論理的で根源的な話が展開されるため,連続に関する直観はすべて排除しなければいけません.「途切れなく続いているさま」を連続という言葉のイメージには使えないのです. 実際,連続概念を形成している部分(位相)を別のものにすることによって,私たちが普段思い描く空間とはまったく違った連続概念を持つ【空間】も得られます.後に記述するように,実数直線にいつもと違う位相を与えることで, f(x) = cos x などがが不連続関数として扱われるということが起こりえます. ( Oz(R) というのが実数 R に与えられた,ある特別な位相を指しています.) 位相空間論は【幾何学】といいながら,扱う対象を図に描くということをあまりしないのです.なぜなら,例えペンを滑らかに滑らせて描いた図形であっても【位相空間論】においては連続的なものを表しているとは限らないからです(抽象的な図は結構描きますが,それを論理展開にそのまま使うことはありません). したがって,位相空間論では幾何学的な内容がすべて論理式によって展開されていきます.高校までで養われた【幾. (1) x の部分集合c がx における閉集合であるとは、補集合x c がx における開集合であるときをいう。 (2) 位相空間x の点a に対して、a 2 u であるようなx の開集合を x におけるa の開近傍と呼ぶ。 1 -3 : 部分空間 (x;o) を位相空間とする。x の部分集合a には次の. N,Z,Q,R,C の中で群, 環, 体をそれぞれ全て答えよ. 年5月8日集合と位相2(藤岡敦担当)授業資料 1 x5. 集合と位相第一 講義ノート 東京工業大学理学部 年度前期 山田光太郎 を集合として扱えた方が便利である.そこで元を一つも含まないものも集合と考え,これ を空集合(empty set) とよび,記号∅ であらわす.例えば fx 2 R j x2 +1 = 0g は空集合である 定義1. 距離空間の開集合と閉集合 Euclid空間の場合と同様に, 距離空間に対しても開集合や閉集合といった概念を定めること ができる.

1 位相のいろは 閉集合・開集合はそれぞれ言葉で「境界を含む集合」「境界を含まない集合」と説明さ れますが,これらを数学的にきちんと定義してみましょう.そもそもの「集合(a とおき. 17位相の章でも,f を閉集合全体として記号を用いていた(定義1. 空間上の点 x に着目するとき,その周りに x の近傍というものを考えることができます. この x の近傍という概念は,ある x の近くにどんな点があるのかなどを記述するものになっています.そして【 x の近傍】とは x を含むような開集合として定義されます.開集合は空間内のいたるところに存在しており,【ある点の近傍】であったり,あるいは複数の点のおぼろげな離れ具合を表すものであると解釈できます. 空間には必ずこういった開集合というものを考えることができます.そうでなければ点と点の近さという概念自体が意味をなさなくなってしまうのです.そして 連続という概念はこの開集合という概念だけを用いて定義することが可能です. 細かい単語の意味は専門的になっており,知識がなければ正確に読むことは困難ですが,さきほどのイプシロン-デルタ論法に比べると非常に簡潔な定義になっていることだけは読み取れるかと思います. この定義において重要なことは,【連続】という概念は【開集合】さえあれば定義できるということです.(イプシロン-デルタ論法の定義には |x-a| などの式が用いられていました.) これはすなわち,連続概念について論じる議論を展開していくのに【開集合】さえあればこと足りるということを言っています.さらに言うなら, 「連続の理論は開集合の理論である」 となるでしょう.開集合は空間における【近さ】を表すための役割だけではなく,連続概念の基礎部分をなしている重要なものだったのです.. ,fp が存在して X= fx 2 Rn j f1(x) = = fp(x) = 0g と書けるときをいう.同様にCn 内の有限個の複素多項式の零点集合を代数集合と言う こともある. 例1.

【位相空間】は純粋数学における幾何学において,なくてはならないものです.ではそもそも位相空間とは具体的にどのようなものなのでしょうか? 【位相空間】とは簡単に言うと【連続】という概念を扱うために最低限必要な土台です.連続関数とか,図形が連続的につながっている(連結である)といった概念を扱うために最低限必要な構造を持った数学的対象が位相空間です. この位相空間,何が難しいのかと言うと,とにかく抽象的で何のために存在しているのかがわかりにくい概念なのです.その話をする前に高校数学における【連続】の扱われ方をみてみましょう. 高校数学において,【連続】という言葉は主に関数に対して使われています.関数が連続であることは極限によって表されていました. 大学数学においては,連続関数はイプシロン-デルタ論法によって論理式による厳密な定式化がなされます.これは,数学科の学部生にとって最初の関門でしょう. 途中に現れる論理式はすんなり理解できるようなものではありません.訓練を積んで,論理式という数学言語に対する慣れを身に着けていくしかないのです. この【イプシロン-デルタ論法】は純粋数学の厳密な議論の難しさを物語るものとして,大学数学の中では有名なものです. しかし,数学科で学ぶ学生は,これよりも,もっと洗練された【連続の定義】を学びます.それは【開集合】というものを使ったものであり,これこそが位相空間の概念の始まりになります.. 位相空間論演習問題2 (今井) 定義 集合 の二つの距離 と が同値であるとは、 の開集合と の開集合は一致する(すなわち、 の部分集合 が距離空間 の開集合ならば は距離空間 の開集合になり、更にその逆も成立す る)ことである、と定義する。. 連続概念は開集合によって記述できるということは先に述べたとおりです.では,開集合そのものが別のものに変わってしまったらどうなるでしょうか? まず,開集合が変わるとはどういうことかを説明しなければいけません. 何度も言うように,開集合は連続概念を支える土台としての役割を持っており,そして連続概念は空間を空間足らしめているものです.連続であるという概念がなければ空間は意味をなしません. 例えば実数の集合 R は【R上の開集合とは何か?】の情報がなければ 集合位相 pdf ,何の意味もない存在なのです.純粋数学において集合とは単なる記号の集まりとしての役割しか持っていないからです.例えば「点 1 ∈ R の近くにはどのような点が存在するか?」 と問われても,開集合が何かが定められていなければ答えられないのです. R はそれ単体では空間とは呼べず, R に開集合の情報 を与えて初めて R は空間と呼べるものになります.O(R) は【 R の開集合族】(あるいは【R の位相】【R のトポロジー】)と呼ばれます.これら R と O(R) の組 がユークリッド直線とよばれているものだったのです. ではこの開集合の情報 O(R) とはどのように与えられるものなのでしょうか? 適当に与えてしまってよいのでしょうか? ユークリッド直線 (R,O(R)) 集合位相 pdf に話を限れば,O(R) はユークリッド距離というものによって与えられています.しかし,このユークリッド距離も pdf R とは独立に与えられているものです. すなわち,R 上の開集合が,開区間とその和集合で与えられるべき絶対的な理由は存在しません. 言い換えれば,R上の開集合というのは,集合 R から自然発生的に得られるものではなく,したがって集合 R とは独立に存在しているものと考えられます. つまり開集合の情報を何か別のものに置き換えても,わたしたちがユークリッド平面で営んできた連続概念の議論は同じように展開できるかもしれないのです.. 1 (部分集合).

集合と位相は数学の1番最初に習うべき分野で、もっとも基本的な概念です。ただ位相空間は、微積分や線形代数などと比べて初心者にはなかなか理解が難しいようです。最初は無理せずに優しい本から読んでいくのがいいと思います。 集合・写像・理論 集合・写像・論理―数学の基本を学ぶ. 記号が被ってしまったが,閉集合全体と ˙ 加法族とは違う.

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